Question

（2013•錦州模擬）如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點．與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與直線BC交于點D
（1）求拋物線的表達式；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點M，使|BM-CM|的值最大，求出點M的坐標．
（3）平面直角坐標系上有一點P（5，2），x軸上是否存在一點Q，使△PQD為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
（4）點E為直線BC上一動點，過點E作y軸的平行線EF，與拋物線交于點F．問是否存在點E，使得以D、E、F為頂點的三角形與△BCO相似？若存在，直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點A、B、C的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（2）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AM=BM，再根據三角形的任意兩邊之差小于第三邊判斷出點A、C、M三點共線時，|BM-CM|最大，然后求出直線AC的解析式，再根據拋物線的對稱軸求解即可；
（3）設拋物線對稱軸與x軸相交于點G，過點P作PH⊥x軸于H，設GQ=x，表示出HQ，求出直線BC的解析式，再求出點D的坐標，然后求出△PHQ和△QGD相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求解得到x的值，再求出OQ的長，從而得到點Q的坐標；
（4）先判斷出△BOC是等腰直角三角形，根據EF∥y軸和直線BC的解析判斷出△DEF是直角三角形即可與△BOC相似，然后求出∠ADB=90°，再分①點F是直角頂點時，求出點F的縱坐標，代入拋物線求出點F的橫坐標，然后代入直線BC解析式求解即可，②點D是直角頂點時，求出直線AD的解析式，與拋物線聯立求解得到點F的橫坐標，再代入直線BC求解即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過點A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=-4 c=3

，
∴拋物線的表達式為y=x²-4x+3；

（2）∵拋物線對稱軸是線段AB的垂直平分線，
∴AM=BM，
由三角形的三邊關系，|BM-CM|=|AM-CM|＜AC，
∴點A、C、M三點共線時，|BM-CM|最大，
設直線AC的解析式為y=mx+n，
則

m+n=0 n=3

，
解得

m=-3 n=3

，
∴直線AC的解析式為y=-3x+3，
又∵拋物線對稱軸為直線x=-

b

2a

=-

-4

2×1

=2，
∴x=2時，y=-3×2+3=-3，
故，點M的坐標為（2，-3）；

（3）如圖，設拋物線對稱軸與x軸相交于點G，過點P作PH⊥x軸于H，
設GQ=x，
∵P（5，2），
∴HQ=5-2-x=3-x，PH=2，
由B（3，0），C（0，3）易求直線BC的解析式為y=-x+3，
x=2時，y=-2+3=1，
∴點D（2，1），
∴DG=1，
∵△PQD為直角三角形，
∴∠PQD=90°，
∴∠PQH+∠DQG=180°-90°=90°，
∵∠PQH+∠HPQ=90°，
∴∠DQG=∠HPQ，
又∵∠PHQ=∠QGD=90°，
∴△PHQ∽△QGD，
∴

PH

GQ

=

QH

DG

，
即

2

x

=

3-x

1

，
整理得，x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
∴OQ=2+1=3或OQ=2+2=4，
∴點Q的坐標為（3，0）或（4，0）；

（4）∵OB=OC=3，OB⊥OC，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵EF∥y軸，直線BC的解析式為y=-x+3，
∴△DEF只要是直角三角形即可與△BOC相似，
∵D（2，1），A（1，0），B（3，0），
∴點D垂直平分AB且到點AB的距離等于

1

2

AB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ADB=90°，
①點F是直角頂點時，點F的縱坐標與點D的縱坐標相同，是1，
∴x²-4x+3=1，
整理得x²-4x+2=0，
解得x=2±

2

，
當x=2-

2

時，y=-（2-

2

）+3=1+

2

，
當x=2+

2

時，y=-（2+

2

）+3=1-

2

，
∴點E₁（2-

2

，1+

2

）E₂（2+

2

，1-

2

），
②點D是直角頂點時，
易求直線AD的解析式為y=x-1，
聯立

y=x-1 y=x2-4x+3

，
解得

x1=1 y1=0

，

x2=4 y2=3

，
當x=1時，y=-1+3=2，
當x=4時，y=-4+3=-1，
∴點E₃（1，2），E₄（4，-1），
綜上所述，存在點E₁（2-

2

，1+

2

）或E₂（2+

2

，1-

2

）或E₃（1，2）或E₄（4，-1），使以D、E、F為頂點的三角形與△BCO相似．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了待定系數法求二次函數的解析式，待定系數法求一次函數的解析式，根據線段垂直平分線的性質和三角形的三邊關系判斷出點M的位置是解（2）題的關鍵，利用相似三角形對應邊成比例列出比例式是解（3）題的關鍵，判斷出△DEF是直角三角形是解（4）題的關鍵，難點在于要分情況討論．