Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，cos∠ABC＝，sin∠ACB＝，AC＝2，分別以AB，AC為邊向△ABC形外作正方形ABGF和正方形ACDE，連接EF，點M是EF的中點，連接AM，則△AEF的面積為_____，AM的長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先過F作AE的平行線交AM的延長線于H，得出△FHM≌△EAM，根據全等得出對應邊相等，再利用平行和圓周角等相關角度轉化得到△AFH≌△BAC，得出求△AEF的面積即是求△BAC的面積．過點A作BC的垂線交BC于P，根據題目中的條件可以算出BC、AP的長度，從而算出面積．再根據全等得出AH與BC相等，從而算出AM的長度．

解：如圖，過F作AE的平行線，交AM的延長線于H，則∠HFM＝∠AEM，∠H＝∠EAM，

∵點M是EF的中點，

∴FM＝EM，

∴△FHM≌△EAM（AAS），

∴AE＝FH＝AC，AM＝MH＝AH，

∵四邊形ABCF是正方形，

∴AF＝BA，

∵∠AFH+∠FAE＝180°，∠CAB+∠HFA＝180°，

∴∠AFH＝∠BAC，

在△AFH和△BAC中， ，

∴△AFH≌△BAC（SAS），

∴AH＝BC＝2AM，

即AM＝ BC，

如圖，過A作AP⊥BC于P，

∵cos∠ABC＝ ，sin∠ACB＝，AC＝2，

∴AP＝AC×sin∠ACB＝2×＝，CP＝AC＝1，∠BAP＝45°＝∠ABP，

∴BP＝AP＝，

∴BC＝+1，

∴△AEF的面積＝△ABC的面積＝×（+1）＝；

∴AM＝BC＝，

故答案為：；．