Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

（4）如圖2，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合條件的點P，其坐標為P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）， .

【解析】

（1）已知拋物線過A、B兩點，可將兩點的坐標代入拋物線的解析式中，用待定系數法即可求出二次函數的解析式；

（2）可根據（1）的函數解析式得出拋物線的對稱軸，也就得出了M點的坐標，由于C是拋物線與y軸的交點，因此C的坐標為（0，3），根據M、C的坐標可求出CM的距離．然后分三種情況進行討論：

①當CP＝PM時，P位于CM的垂直平分線上．求P點坐標關鍵是求P的縱坐標，過P作PQ⊥y軸于Q，如果設PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的長，可根據M的坐標得出，CQ＝3﹣x，因此可根據勾股定理求出x的值，P點的橫坐標與M的橫坐標相同，縱坐標為x，由此可得出P的坐標．

②當CM＝MP時，根據CM的長即可求出P的縱坐標，也就得出了P的坐標（要注意分上下兩點）．

③當CM＝CP時，因為C的坐標為（0，3），那么直線y＝3必垂直平分PM，因此P的縱坐標是6，由此可得出P的坐標；

（3）根據軸對稱﹣最短路徑問題解答；

（4）由于四邊形BOCE不是規則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規則的圖形進行計算，過E作EF⊥x軸于F，S四邊形BOCE＝S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO為E的橫坐標的絕對值，EF為E的縱坐標，已知C的縱坐標，就知道了OC的長．在△BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的橫坐標表示出BF的長．如果根據拋物線設出E的坐標，然后代入上面的線段中，即可得出關于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求得四邊形BOCE的最大值及對應的E的橫坐標的值．即可求出此時E的坐標．

（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），

∴，

解得：．

∴所求拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如答圖1，

∵拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，

∴其對稱軸為x＝＝﹣1，

∴設P點坐標為（﹣1，a），當x＝0時，y＝3，

∴C（0，3），M（﹣1，0）

∴當CP＝PM時，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝，

∴P點坐標為：P1（﹣1，）；

∴當CM＝PM時，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝±，

∴P點坐標為：P2（﹣1，）或P3（﹣1，﹣）；

∴當CM＝CP時，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，

∴P點坐標為：P4（﹣1，6）．

綜上所述存在符合條件的點P，其坐標為P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；

（3）存在，Q（﹣1，2），理由如下：

如答圖2，點C（0，3）關于對稱軸x＝﹣1的對稱點C′的坐標是（﹣2，3），連接AC′，直線AC′與對稱軸的交點即為點Q．

設直線AC′函數關系式為：y＝kx+t（k≠0）．

將點A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得，

解得，

所以，直線AC′函數關系式為：y＝﹣x+1．

將x＝﹣1代入，得y＝2，

即：Q（﹣1，2）；

（4）過點E作EF⊥x軸于點F，設E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）

∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a

∴S四邊形BOCE＝BFEF+（OC+EF）OF

＝（a+3）（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）（﹣a）

＝﹣a2﹣a+＝﹣（a+）2+，

∴當a＝﹣時，S四邊形BOCE最大，且最大值為．

此時，點E坐標為（﹣ ，）．