Question

如圖，拋物線：y＝ax²＋bx＋4與x軸交于點A(－2，0)和B(4，0)、與y軸交于點C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)T是拋物線對稱軸上的一點，且△ACT是以AC為底的等腰三角形，求點T的坐標；
(3)點M、Q分別從點A、B以每秒1個單位長度的速度沿x軸同時出發相向而行．當點M原點時，點Q立刻掉頭并以每秒個單位長度的速度向點B方向移動，當點M到達拋物線的對稱軸時，兩點停止運動．過點M的直線l⊥軸，交AC或BC于點P．求點M的運動時間t(秒)與△APQ的面積S的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

（1）拋物線的解析式為：；
（2），S的最大值為．

解析試題分析：（1）把A、B的坐標代入拋物線的解析式得到方程組，求出方程組的解即可；
（2）設直線x=1上一點T（1，h），連接TC、TA，作CE⊥直線x=1，垂足是E，根據TA=TC由勾股定理求出即可；
（3）（I）當0＜t≤2時，△AMP∽△AOC，推出比例式，求出PM，AQ，根據三角形的面積公式求出即可；
（II）當2＜t≤3時，作PM⊥x軸于M，PF⊥y軸于點F，表示出三角形APQ的面積，利用配方法求出最值即可．
試題解析：（1）把A、B(4，0)代入，得
 
解得    
∴拋物線的解析式為：；
（2）由，得拋物線的對稱軸為直線，
直線交x軸于點D，設直線上一點T(1，h)，連結TC，TA，作CE⊥直線，垂足為E，由C(0，4)得點E(1，4)，
在Rt△ADT和Rt△TEC中，由TA=TC得
        
解得，
∴點T的坐標為(1,1)；
（3）解：（Ⅰ）當時，△AMP∽△AOC
∴

∴
當時，S的最大值為8.
（Ⅱ）當時，
作PF⊥y軸于F，有△COB∽△CFP，又CO=OB
∴FP=FC=，
∴
∴當時，則S的最大值為，
綜合Ⅰ、Ⅱ，S的最大值為．

考點：二次函數綜合題．