Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D為AC上一點，連接BD，DF⊥BD交AB于點F，△BDF的外接圓⊙O與邊BC相較于點M，與AC相切于點D。過點M作AB的垂線交BD于點E，交⊙O于點N，交AB于點H，連接FN.

（1）求證：BD平分∠ABC；

（2）連接FM與BD相交于點K，求證：MK=ME；

（3）若AF=1，tan∠N=，求BE的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3) .

【解析】試題分析：（1）連接OD，由OD=OB得∠ODB=∠OBD，再證明OD//BC，從而得∠ODB=∠DBC，得到∠OBD=∠DBC，問題得證；

（2）證明∠MKE=∠MEK即可得；

（3）先證得FB為⊙O的直徑，根據tan∠N=tan∠ABC= ，從而得tan∠BAC= ，設OD=r=3 ，則有AD=4 ，AO=5，從而可求得= ， r=，繼而得到BF=3，AB=4， BC=，連接BN，從而可得BH的長，再根據∠DBC=∠DBF，得 ，求得BD的長，再根據 ， 即可求得BE的長.

試題解析：（1）連接OD，∵OD=OB，∴∠ODB∠OBD，

∵AC是⊙O的切線，∴∠ODA=∠C=90 ，∴OD∥BC，∴∠ODB=∠DBC，

∴∠OBD=∠DBC，

即BD平分∠ABC；

（2）∵∠BHE=90°，∠FBD=∠DBC，

∴∠MEK=∠BEH=90-∠FBD=90-∠DBC，

又∵∠MKE=∠DKF=90 -∠DFK，∠DFK=∠DBC，

.∴∠MKE=∠MEK，∴MK=ME；

（3）∵DF⊥BD， ∴∠FDB=90 ，∴FB為⊙O的直徑，

∵tan∠N=tan∠ABC= ，∴ ，∴，

∴tan∠BAC= ，設OD=r=3 ，∴AD=4 ，AO=5，

∴5=3+1，∴= ，∴r=，

∴BF=3，AB=4， BC=，

連接BN，∴∠FNB=90 ，∴BN=BF， BH=BN，

∴BH=××3=，

∵∠DBC=∠DBF，∴ ，∴BD=，

∴ ， 即， ∴BE=.