Question

【題目】已知，拋物線y=ax2+bx+4 與x軸交于點A（﹣3，0）和B（2，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點D為CB的中點，將線段DB繞點D旋轉，點B的對應點為點G，當點G恰好落在拋物線的對稱軸上時，求點G的坐標；

（3）如圖2，若點D為直線BC或直線AC上的一點，E為x軸上一動點，拋物線

y=ax2+bx+4對稱軸上是否存在點F，使以B，D，F，E為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+4 與x軸交于點A（﹣3，0）和B（2，0），

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2﹣ x+4

（2）解：由（1）可知拋物線的對稱軸為x=﹣ ．

∴可設點G的坐標為（﹣ ，y），

∵點D是BC的中點，

∴點D的坐標為（1，2），

在Rt△OBC中，BC= =2 ．

∴DB= BC= ，

由旋轉的性質可知，DG=DB，

∴（﹣ ﹣1）2+（y﹣2）2=5，解得：y=2+ 或y=2﹣ ，

∴點G的坐標為（﹣ ，2+ ）或（﹣ ，2﹣ ）

（3）解：①當BE為對角線時，因為菱形的對角線互相垂直平分，所以此時D即為對稱軸與AC的交點，F為點D關于x軸的對稱點，

設直線AC解析式為y=kx+b，

∵C（0，4），A（﹣3，0）

∴ ，解得 ，

∴直線AC解析式為y= x+4，

∴當 時， ，

∴D ，

∴F ；

②當BE為菱形的邊時，有DF∥BE

I）當點D在直線BC上時，可求得直線BC解析式為y=﹣2x+4，

設D（a，﹣2a+4），則點F ，

∵四邊形BDFE是菱形，

∴FD=DB，

∴ ，解得 ， ，

∴F 或 ；

II）當點D在直線AC上時，

設D ，則點F ，

∵四邊形BFDE是菱形，

∴FD=FB，

∴（a+ ）2=（2+ ）2+（ a+4）2，解得：a1=﹣3（舍去）， ，

∴F ，

綜上所述，點F的坐標分別為 或 或 或

【解析】（1）把A、B兩點的坐標代入拋物線解析式可求得a、b的值，可求得拋物線解析式；（2）可設出G點坐標，利用旋轉的性質可求得DG=DB，從而可列出方程，可求得G點坐標；（3）分BE為對角線和BE為邊兩種情況，①當BE為對角線時，則可知BE⊥DF，可知D為對稱軸與直線AC的交點，F為D點關于x軸的對稱點，可先求得直線AC的解析式，可求得D點坐標，則容易求得F點坐標；②當BE為邊時，可利用直線BC或直線AC的解析式設出點D的坐標，從而可表示出F點的坐標，再利用菱形的性質可列出方程，從而可求得F點的坐標．