Question

【題目】 如圖，AC是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線．點E在直徑AC上，連接ED交⊙O于點B，連接AB，且AB＝BD．

(1)求證：AB＝BE；

(2)若⊙O的半徑長為5，AB＝6，求線段AE的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)．

【解析】

（1）過B作BF⊥AD于點F，由等腰三角形的性質得F是AD的中點，再由切線的性質得AC⊥AD，進而得BF是△ADE的中位線便可得結論；

（2）過O作OM⊥AB于點M，過B作BN⊥AC于點N，根據垂徑定理求得AM，再解直角三角形求得cos∠OAM，進而在Rt△ABN中求得AN，便可求得結果．

解：（1）過B作BF⊥AD于點F，如圖1，

∵AB＝BD，

∴AF＝DF，

∵AD是⊙O的切線，

∴AC⊥AD，

∴AC∥BF，

∵AF＝DF，

∴BD＝DE，

∴AB＝BE；

（2）過O作OM⊥AB于點M，過B作BN⊥AC于點N，如圖2，

∵AB＝6，AB＝BE，

∴AM＝BM＝＝3，AE＝2AN，

∵OA＝5，

∴cos∠OAM＝，

∴cos∠BAN＝，

∴AN＝，

∴AE＝2AN＝．