Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（8，4），連接AC，BC．

（1）求過O，A，C三點(diǎn)的拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；

（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OB以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，PA=QA？

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使以A，B，M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1），直角三角形；（2）；（3）M1（，），M2（，），M3（，），M4（，）．

【解析】

試題分析：（1）先確定出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形；

（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)表示出OP=2t，CQ=10﹣t，判斷出Rt△AOP≌Rt△ACQ，得到OP=CQ即可；

（3）分三種情況用平面坐標(biāo)系內(nèi)，兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可．

試題解析：（1）∵直線y=﹣2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，∴A（5，0），B（0，10），∵拋物線過原點(diǎn)，∴設(shè)拋物線解析式為，∵拋物線過點(diǎn)B（0，10），C（8，4），∴，∴，∴拋物線解析式為，∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），∴==125，==100，==25，∴，∴△ABC是直角三角形．

（2）如圖1，當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)t秒，即OP=2t，CQ=10﹣t時(shí)，由（1）得，AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，在Rt△AOP和Rt△ACQ中，∵AC=OA，PA=QA，∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，∴OP=CQ，∴2t=10﹣t，∴t=，∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，PA=QA；

（3）存在，∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為x=，∵A（5，0），B（0，10），∴AB=

設(shè)點(diǎn)M（，m）；

①若BM=BA時(shí)，∴，∴m1=，m2=，∴M1（，），M2（，）；

②若AM=AB時(shí)，∴，∴m3=，m4=，∴M3（，），M4（，）；

③若MA=MB時(shí)，∴，∴m=5，∴M（，5），此時(shí)點(diǎn)M恰好是線段AB的中點(diǎn)，構(gòu)不成三角形，舍去；

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M1（，），M2（，），M3（，），M4（，）．