Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點B（2，0）、C（0，2）兩點，與x軸的另一個交點為A．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D從點C出發沿線段CB以每秒個單位長度的速度向點B運動，作DE⊥CB交y軸于點E，以CD、DE為邊作矩形CDEF，設點D運動時間為t（s）．

①當點F落在拋物線上時，求t的值；

②若點D在運動過程中，設△ABC與矩形CDEF重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①②，，

【解析】

（1）把B、C的坐標代入拋物線的解析式求解即可；
（2）①點F在拋物線上，作DG⊥y軸，FH⊥y軸，證明△CDG≌△EFH，根據全等三角形的性質有CG=HE，GD=FH，證明△CGD∽△COB，根據相似三角形的性質得到表示出OH的長度，即可求得點F的坐標，最后將點F的坐標代入拋物線的解析式求解即可；
②當時，S=CDDE；當時，S=矩形DEGF的面積-△GEH的面積．當時，

解：（1）把兩點代入拋物線解析式得：

解得：

則拋物線解析式為

（2）①如圖1所示，點F在拋物線上，作DG⊥y軸，FH⊥y軸，

易得△CDG≌△EFH，即CG＝HE，GD＝FH，

由題意得：

∵△CGD∽△COB，

∴

即

∴OH＝，即

代入拋物線解析式得：

解得：t=；

②分三種情況考慮：

（i）如圖2所示，△ABC與矩形CDEF重疊部分為矩形CDEF，

在Rt△CDE中，

∴DE＝3t，

（ii）如圖3所示，△ABC與矩形CDEF重疊部分為五邊形CDHGF，

由題意得：

在Rt△CED中，∠ECD＝60°，

∴

∴

在Rt△OGE中，

同理可得 即

則

（iii）如圖4，△ABC與矩形CDEF重疊部分為四邊形CDMN，

由題意得：

在Rt△BMD中，

則

，