Question

【題目】如圖，拋物線y=nx2﹣3nx﹣4n（n＜0）與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側），且拋物線與y軸交于點A．

（1）點B的坐標為　 　，點C的坐標為　 　；

（2）若∠BAC=90°，求拋物線的解析式．

（3）點M是（2）中拋物線上的動點，點N是其對稱軸上的動點，是否存在這樣的點M、N，使得以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，0），（4，0）；（2）y=﹣x2+x+2；（3）點M的坐標分別為：（﹣，﹣）或（，﹣）或（，）．

【解析】

（1）利用x軸上點的坐標特點即可得出結論；
（2）判斷出△AOB∽△COA，建立方程求出OA，進而得出點A坐標，最后用待定系數法即可的結論；
（3）設出點M，N的坐標，分三種情況，利用中點坐標公式建立方程求解即可得出結論．

（1）令y=0，

∴nx2-3nx-4n=0，

∵n＜0，

∴x2-2x-4=0,

∴x=-1或x=4,

∴B(-1,0),C(4,0)；

（2）∵∠BAC=90°，AO⊥BC，

易證△AOB～△COA，

∴，，

∴OA=2，

故A（0，2），

則設拋物線的解析式為：y=a(x-x1)( x-x2),

把A（0，2）、B（-1，0）、C（4，0）代入上式得，-4a=2，

∴，

∴，

∴對稱軸直線為，

∴設N（，b），M（m，），

以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴①當AC為對角線時，，

∴.

∴M（，）.

②當AM為對角線時，，

∴.

∴M（，-）.

③當AN為對角線時，，

∴.

∴M（，-）.

即：拋物線上存在這樣的點M，點M的坐標分別為：M（，）或（，-）或（，-）.