Question

已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB與x軸、y軸的交點分別為A、B，OB=3，，將∠OBA對折，使點O的對應點H恰好落在直線AB上，折痕交x軸于點C，

（1）求過A、B、C三點的拋物線解析式；

（2）若拋物線的頂點為D，在直線BC上是否存在點P，使得四邊形ODAP為平行四

邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）若點Q是拋物線上一個動點，使得以A、B、Q為頂點并且以AB為直角邊的直角三角形，直角寫出Q點坐標。

Answer 1

（1）∵在Rt△BOA中，OB=3，，

∴OA=4，AB=5，

∴A（4，0），B（0，3）

 設C（），連結CH，如圖，由對稱性知，CH=OC=，BH=BO=3，∠BHC=∠BOC=90°，

∴AH= AB-BH=2，AC=，

∴在Rt△CHA中，由CH+AH=AC，即得 ，∴C（）

設過A、B、C三點的拋物線的解析式為

將x=0，y=3代入拋物線的解析式，得 ，

∴，

即過A、B、C三點的拋物線的解析式為 ；---4分

（2），

∴拋物線的對稱軸為直線，頂點D的坐標為（），

由B（0，3），C（）可求得直線BC的解析式：，

假設存在符合題意的點P，其坐標為（），

要使得四邊形ODAP為平行四邊形，只能OP∥AD，且OP=AD，

如圖，作OP∥AD交直線BC于點P，連結AP，作PM⊥x軸于點M，

記拋物線的對稱軸與x軸的交點為G，

∵OP∥AD，

∴∠POM=∠DAG,

又∵∠PMO=∠DGA=90°，OP=AD，

∴△OPM≌△ADG（AAS）

∴OM=AG，PM=DG，