Question

【題目】在平面直角坐標系中，為坐標原點，菱形的對角線在軸上，兩點分別在第一象限和第四象限.直線的解析式為．

（1）如圖1，求點的坐標；

（2）如圖2，為射線上一動點（不與點和點重合），過點作軸交直線于點.設線段的長度為，點的橫坐標為，求與的函數關系式，并直接寫出自變量的取值范圍；

（3）如圖3，在（2）的條件下，當點運動到線段的延長線上時，連接交軸于點，連接，，延長交于點，過作交軸于點，的角平分線交軸于點，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A（4，2）；（2）d= ；（3）S（，0）．

【解析】

（1）如圖1中，連接AC交OB于F，延長BA交y軸于E．利用三角形的中位線定理解決問題即可．
（2）分兩種情形：①如圖2-1中，當0＜m＜4時，作PM⊥OB于M，QN⊥OB于N．②如圖2-2中，當m＞4時，作PM⊥OB于M，QN⊥OB于N．分別求解即可．
（3）如圖3中，連接AC交OB于K，在KB上取一點J，使得AK=JK，連接AJ，作ET⊥OB于T，延長PE交y軸于R，連接FM交ES于L．首先證明AJ平分∠BAM，設KM=a，利用角平分線的性質定理構建方程求出a，可得點M的坐標，即可解決問題．

（1）如圖1中，連接AC交OB于F，延長BA交y軸于E．

∵直線AB的解析式為y=-x+4，
∴E（0，4），B（8，0），
∴OE=4，OB=8，
∵四邊形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，OF=FB=4，
∴∠AFB=∠EOB=90°，
∴AF∥OE，∵OF=FB，
∴AE=AB，
∴AF=OE=2，
∴A（4，2）．
（2）如圖2-1中，當0＜m＜4時，作PM⊥OB于M，QN⊥OB于N．

∵PQ∥OB，PM⊥OB，QN⊥OB，
∴PM=QN，∠OMP=∠BNQ=90°，四邊形PQNM是矩形，
∴PQ=MN
∵AO=AB，
∴∠POM=∠QBN，
∴△PMO≌△QNB（AAS），
∴OM=BN=m，
∴d=PQ=MN=8-2m．
如圖2-2中，當m＞4時，作PM⊥OB于M，QN⊥OB于N．

同法可得PQ=MN，OM=BM=m，
∴d=PQ=MN=2m-8．
綜上所述，d= ．
（3）如圖3中，連接AC交OB于K，在KB上取一點J，使得AK=JK，連接AJ，作ET⊥OB于T，延長PE交y軸于R，連接FM交ES于L．

∵AK=KJ，∠AKJ=90°，
∴∠AJK=45°，
∵∠AJK=∠JA+∠ABJ=45°，∠BAM+∠AOB=∠BAM+∠ABO=45°，
∴∠BAJ=∠BAM，
∴AJ平分∠MAB，
∴（角平分線的性質定理，可以用面積法證明，見下面補充說明），
設KM=a，則AM=，MJ=2-a，JB=2，AB=2，
∴ ，
整理得：a2-5a+4=0，
解得a=1或4（舍棄），
∴KM=1，OM=5，
∴M（5.0），
∵C（4，-2），
∴直線CM的解析式為y=2x-10，
∵直線OA的解析式為y=x
由，解得 ，
∴P（），
∵直線MA的解析式為y=-2x+10，
∵PE∥OB，
∴E（），
∵ER⊥OR，ET⊥OB，
∴∠ERF=∠ETM=∠ROT=90°，
∴ER=RT=，四邊形RETO是正方形，
∴TM=5-=，
∵∠RET=∠MEF=90°，
∴∠FER=∠MET，
∴△ERF≌△ETM（ASA），
∴RF=TM=，EF=EM，
∴OF=-=，
∴F（0，），
∵EF=EM，ES平分∠FEM，
∴ES⊥FM，
∴FL=LM，
∴L（），
∴直線ES的解析式為y=3x-，
令y=0，得到x=，
∴S（，0）．
補充說明：如圖，AJ平分∠MAB，則，

理由：作JE⊥AB于E，JF⊥AM交AM的延長線于F．
∵AJ平分∠MAB，
∴EJ=JF，
∴

∴．