Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線，MN經過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E．

(1)當直線MN繞點C旋轉到如圖1的位置時，求證：DE=AD+BE；

(2)當直線MN繞點C旋轉到如圖2的位置時，求證：DE=AD﹣BE；

(3)當直線MN繞點C旋轉到如圖3的位置時，線段DE、AD、BE之間又有什么樣的數量關系？請你直接寫出這個數量關系，不要證明．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)DE=BE﹣AD．

【解析】

（1）利用垂直的定義得∠ADC=∠CEB=90°，則根據互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根據等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根據“AAS”可判斷△ADC≌△CEB，所以CD=BE，AD=CE，再利用等量代換得到DE=AD+BE；（2）與（1）一樣可證明△ADC≌△CEB，則CD=BE，AD=CE，于是有DE=CE﹣CD=AD﹣BE；（3）與（1）一樣可證明△ADC≌△CEB，則CD=BE，AD=CE，于是有DE=CD﹣CE=BE﹣AD．

(1)∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC和△CEB，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴CD=BE，AD=CE，

∴DE=CE+CD=AD+BE；

(2)與(1)一樣可證明△ADC≌△CEB，

∴CD=BE，AD=CE，

∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；

(3)DE=BE﹣AD．