Question

【題目】如圖，點為線段上一點，分別以為底作頂角為的等腰三角形，頂角頂點分別為(點在的同側，點在的另一側)

（1）如圖 1，若點是的中點，則

（2）如圖 2，若點不是的中點，①求證：為等邊三角形；

②如圖 3，連接，若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）30；（2）①見解析；②

【解析】

（1）過作于，連接，先求出∠EAC=∠ACE=30°，設，得到，再求出DC=CE=2x，根據等腰三角形的性質及平行線的性質得到，得到，再根據三角形內角和求出答案；

（2）①延長交于，連接，先證明 ，，得到四邊形、四邊形是平行四邊形，證得△AEH是等邊三角形，再證明≌△FCE得到DE=EF，∠DEF=∠CEH=60°，由此得到結論；

②過作于，利用已知及直角三角形30°角所對直角邊等于斜邊一半的性質求出AC=2，，根據等腰三角形的性質求出CM=1，根據求出CE，再根據勾股定理求出DE，即可得到EF.

解：（1）如圖1，過作于，連接，

∵AE=CE，∠AEC=120°，

∴∠EAC=∠ACE=30°，

設，則，，

，

，

是的中點，，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

∵∠DAE=∠DAC+∠EAC=60°，

∴∠ADE=180°-∠DAE-∠AED=30°，

故答案為：30；

（2）①延長交于，連接，如圖2，

，

，

，

，

同理：，，

，

，

同理，

四邊形、四邊形是平行四邊形，

，，

，

，

，

是等邊三角形，

，，

，

．

，

∴≌△FCE(SAS)，

，，

，

是等邊三角形；

②如圖3，過作于，

，，

，

，

，

，

，

∴AC=2，，

，，

，

，

，

，

，

中，，

由①知：是等邊三角形，

．