Question

【題目】某商品的進價為每件40元，如果售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果售價超過50元但不超過80元，每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣1件；如果售價超過80元后，若再漲價，則每漲1元每月少賣3件．設每件商品的售價為x元，每個月的銷售量為y件．
（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）設每月的銷售利潤為W，請直接寫出W與x的函數關系式；
（3）每件商品的售價定位多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？

Answer 1

【答案】
（1）解：當50≤x≤80時，y=210﹣（x﹣50），即y=260﹣x，

當80＜x＜140時，y=210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y=420﹣3x．

則

（2）解：由利潤=（售價﹣成本）×銷售量可以列出函數關系式

w=﹣x2+300x﹣10400（50≤x≤80）

w=﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140）

（3）解：當50≤x≤80時，w=﹣x2+300x﹣10400，

當x=80有最大值，最大值為7200，

當80＜x＜140時，w=﹣3x2+540x﹣16800，

當x=90時，有最大值，最大值為7500，

故售價定為90元．利潤最大為7500元

【解析】（1）當售價超過50元但不超過80元，每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣1件，y=260﹣x，50≤x≤80，當如果售價超過80元后，若再漲價，則每漲1元每月少賣3件，y=420﹣3x，80＜x＜140，（2）由利潤=（售價﹣成本）×銷售量列出函數關系式，（3）分別求出兩個定義域內函數的最大值，然后作比較．