Question

【題目】已知拋物線y=-x2+bx+c的頂點P的坐標為（n，n2+2n+1）（n≥1）.

（1）求b與n，c與n之間的關系式；

（2）若拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A，B（點A在點B的左邊），點P到AB的距離等于線段AB長的2倍，求此拋物線y=-x2+bx+c的解析式；

（3）設拋物線y=-x2+bx+c與y軸交于點D，O為原點，矩形OEFD的頂點E，F分別在x軸和該拋物線上，當矩形OEFD的面積為20時，求點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）b=2n,c=2n+1；（2）此拋物線c的解析式為y=-x2+6x+7；（3）點P的坐標為（2，9）.

【解析】試題分析：（1）yP由定點P的坐標，可得拋物線的解析式為y=-x2+2nx+2n+1=-x2+bx+c，左右對照即可求出b和c；

（2）根據拋物線的解析式可求出A和B的坐標，又點P到x軸的距離為n2+2n+1，所以有n2+2n+1=2n+2，解方程求出n的值，進而可求出拋物線解析式；

（3）根據已知條件可求出OD，DF的長，再根據矩形的面積公式可得：ODDF=2n（2n+1）=20，求出n的值，即可求出P的坐標．

試題解析：（1）∵頂點P的坐標為（n，n2+2n+1）（n≥1），

∴y=-（x-n）2+n2+2n+1=-x2+2nx+2n+1=-x2+bx+c，

∴b=2n，c=2n+1；

（2）當y=0時，即-x2+2nx+2n+1=0.解得x1=-1，x2=2n+1.

由于點A在點B的左邊，

∴點A的坐標為（-1，0），點B 的坐標為（2n+1，0），

即AB=2n+1-（-1）=2n+2；

又點P到x軸的距離為n2+2n+1，

由題意可得n2+2n+1=2n+2.解得n=3，n=-1（不合題意，舍去），

即n=3；

∴此拋物線c的解析式為y=-x2+6x+7；

（3）如圖所示，∵c=2n+1，

∴點D的坐標為（0，2n+1），即OD=2n+1，

又∵DF∥x軸，且D，F關于直線x=n對稱，

∴F的坐標為（2n，2n+1），

∴DF=2n.

由題意可得OD·DF=20，即2n（2n+1）=20，

解得n=2或n=-2.5（不合題意，舍去），即n=2；

∴點P的坐標為（2，9）.