Question

如圖，已知拋物線C₁：y=

1

2

x2，把它平移后得拋物線C₂，使C₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，8），且與拋物線C₁交于點(diǎn)B（2，n）．在x軸上有一點(diǎn)P，從原點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸正半軸的方向移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l，分別交拋物線C₁、C₂于E、D，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B前停止運(yùn)動(dòng)，以DE為邊在直線l左側(cè)畫(huà)正方形DEFG．
（1）判斷拋物線C₂的頂點(diǎn)是否在x軸上，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，正方形DEFG在y軸右側(cè)的部分的面積S有最大值？最大值為多少？
（3）設(shè)M為正方形DEFG的對(duì)稱中心．當(dāng)t為何值時(shí)，△MOP為等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線C₁，進(jìn)行計(jì)算求出n的值，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)平移變換不改變二次函數(shù)圖象的形狀，設(shè)拋物線C₂的解析式為y=

1

2

x²+bx+c，然后利用待定系數(shù)法求解，再根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行判斷；
（2）根據(jù)兩拋物線的解析式表示出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，然后求出DE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)矩形的面積公式列式整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解即可；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合拋物線的對(duì)稱性可以判斷，當(dāng)正方形的中心在y軸右側(cè)時(shí)，△MOP為等腰三角形，然后根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，可得點(diǎn)M到直線l的距離等于正方形邊長(zhǎng)的一半，然后列式求解即可．

解答：解：（1）拋物線C₂的頂點(diǎn)在x軸上．理由如下：
∵點(diǎn)B（2，n）在拋物線C₁上，
∴

1

2

×2²=n，
解得n=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），
∵拋物線C₂是拋物線C₁平移得到，
∴設(shè)拋物線C₂的解析式為y=

1

2

x²+bx+c，
又∵C₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，8），
∴

c=8 1 2 ×4+2b+c=2

，
解得

b=-4 c=8

，
∴拋物線C₂的解析式為y=

1

2

x²-4x+8=

1

2

（x-4）²，
∴拋物線C₂的頂點(diǎn)在x軸上；

（2）時(shí)間為t時(shí)，點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為D（t，

1

2

t²-4t+8），E（t，

1

2

t²），
∴DE=

1

2

t²-4t+8-

1

2

t²=-4t+8，
∴S=OP•DE=t（-4t+8）=-4t²+8t=-4（t-1）²+4，
∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B前停止運(yùn)動(dòng)，
∴0＜t＜2，
∴當(dāng)t=1時(shí)，正方形DEFG在y軸右側(cè)的部分S有最大值，最大值為4；

（3）如圖，可以判定當(dāng)點(diǎn)M在y軸左側(cè)時(shí)，△MOP不能為等腰三角形，
∴當(dāng)點(diǎn)M在y軸右側(cè)，且在OP的垂直平分線上時(shí)，△MOP為等腰三角形，
此時(shí)∵點(diǎn)M是正方形的中心，
∴

1

2

DE=

1

2

OP，
即

1

2

（-4t+8）=

1

2

t，
解得t=

8

5

，
∵

8

5

＜2，
∴符合題意，
故當(dāng)t=

8

5

時(shí)，△MOP為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩點(diǎn)間的距離公式，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，難度較大，需仔細(xì)分析并理解方可解決．