Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊一點，DE平分∠ADC，EF∥DC角AD邊于點F，連結BD．

（1）求證：四邊形EFCD是正方形；

（2）若BE=1，ED=2，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）先證明四邊形FECD為平行四邊形，再證出CD＝CE，得出四邊形FECD為菱形，由∠C＝90°，即可得出四邊形FECD為正方形；

（2）先由三角函數求出正方形FECD的邊長CD＝CE，得出BC，進而得出BD的長．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ADC=∠C=90°，

∵EF∥DC，

∴四邊形FECD為平行四邊形，

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE=∠CDE，

∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠DEC，

∴∠CDE=∠DEC，

∴CD=CE，

∴四邊形FECD是菱形，

又∵∠C=90°，

∴平行四邊形FECD是正方形；

（2）∵四邊形FECD是正方形，

∴∠CDE=45°，

∵ED=2，

∴CE=CD=EDsin45°=2×=2，

∴BC=BE+EC=1+2=3，

∴BD2=BC2+CD2=32+22=13，

∴BD=．