Question

【題目】在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°
（1）如圖1，當點A、C、D在同一條直線上時，AC=12，EC=5
①求證：AF⊥BD ②求AF的長度；

（2）如圖2，當點A、C、D不在同一條直線上時，求證：AF⊥BD；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CF并延長CF交AD于點G，∠AFG是一個固定的值嗎？若是，求出∠AFG的度數；若不是，請說明理由

Answer 1

【答案】
（1）①證明：如圖1，

在△ACE和△BCD中，

∵ ，

∴△ACE≌△BCD，

∴∠1=∠2，

∵∠3=∠4，

∴∠BFE=∠ACE=90°，

∴AF⊥BD．

②∵∠ECD=90°，BC=AC=12，DC=EC=5，

∴BD= =13，

∵S△ABD= ADBC= BDAF，

即

∴AF=

（2）證明：如圖4，

∵∠ACB=∠ECD，

∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

在△ACE≌△BCD中

∴△ACE≌△BCD，

∴∠1=∠2，

∵∠3=∠4，

∴∠BFA=∠BCA=90°，

∴AF⊥BD

（3）∠AFG=45°，

如圖3，過點C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為M、N，

∵△ACE≌△BCD，

∴S△ACE=S△BCD，AE=BD，

∵S△ACE= AECN，

S△BCD= BDCM，

∴CM=CN，

∵CM⊥BD，CN⊥AE，

∴CF平分∠BFE，

∵AF⊥BD，

∴∠BFE=90°，

∴∠EFC=45°，

∴∠AFG=45°

【解析】（1）①證明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，由對頂角相等得到∠3=∠4，所以∠BFE=∠ACE=90°，即可解答；②根據勾股定理求出BD，利用△ABD的面積的兩種表示方法，即可解答；（2）證明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，又由∠3=∠4，得到∠BFA=∠BCA=90°，即可解答；（3）∠AFG=45°，如圖3，過點C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為M、N，由△ACE≌△BCD，得到S△ACE=S△BCD ， AE=BD，證明得到CM=CN，得到CF平分∠BFE，由AF⊥BD，得到∠BFE=90°，所以∠EFC=45°，根據對頂角相等得到∠AFG=45°．