Question

如圖，已知等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC邊上一動點，BC=nDC，AD⊥EC于點E，延長BE交AC與點F．
（1）若n=3，則

CE

DE

=

 

，

AE

DE

=

 

；
（2）若n=2，求證：AF=2FC；
（3）當n=

 

，F為AC的中點（直接填出結果，不要求證明）．

Answer 1

分析：（1）通過證明△CED∽△ACD，根據相似比即可求得CE：DE的長，同理可求得AE：DE的值．
（2）根據已知可求得△GED∽△AFE，根據相似比即可求得AF，FC的關系．
（3）要使AF=CF，必需n²=（n-1）：n．

解答：（1）由題意得，∠DEC=∠DCA=90°，∠EDC=∠CDA，
∴△CED∽△ACD．
∴CE：DE=AC：CD．
∵AC=BC，
∴AC：CD=n=3．
∴CE：DE=3．
同理可得：AE：DE=9．

（2）如圖，當n=2時，D為BC的中點，取BF的中點G，連接DG，
則DG=

1

2

FC，DG∥FC．
∵CE⊥AD，∠ACB=90°，
∴∠ECD+∠EDC=∠CAD+∠ADC=90°．
∴∠ECD=∠CAD．
∵tan∠ECD=

ED

EC

，tan∠CAD=

DC

AC

=

EC

EA

，
∴

ED

EC

=

EC

EA

=

DC

AC

．
∵AC=BC，BC=2DC，
∴

ED

EC

=

EC

EA

=

DC

AC

=

1

2

．
∴

ED

AE

=

1

4

．
∵DG∥FA，
∴△GDE∽△FAE．
∴

DG

FA

=

DE

AE

．
∴DG=

1

4

AF．
∵DG=

1

2

FC，
∴AF=2FC．

（3）如圖，∵BC=nDC，
∴DC：BC=1：n，
∴DC：AC=1：n，
∴DE：CE：AE=1：n：n²；
∴DG：AF=1：n²；
又∵DG：CF=DB：BC=（BC-CD）：BC=（n-1）：n
要使AF=CF，必需n²=n：（n-1），（n＞0）
∴當n=

1+ 5

2

，F為AC的中點．

點評：本題的關鍵是根據相似三角形得出線段之間的比例關系，進而得出所求線段與n之間的關系．