Question

如圖，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D為△ABC的一個外角∠ABF的平分線上一點，且∠ADC=45°，CD交AB于E，
（1）求證：AD=CD；
（2）求AE的長．

Answer 1

分析：（1）過D點作DM⊥AB，DN⊥CB，垂足分別為M、N，由條件證明△ADM≌△CDN就可以得出結論；
（2）由AD=CD及∠ADC=45°可以求出∴∠CAD=67.5゜=∠ACE=∠AEC，由等腰三角形的性質就可以得出結論．

解答：（1）證明：過D點作DM⊥AB，DN⊥CB，垂足分別為M、N，
∴∠AMD=∠CND=90°
∵D為△ABC的一個外角∠ABF的平分線上一點，
∴DM=DN．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠CBA=45°．
∵∠ADC=45°，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠AED=∠CEB，
∴∠1=∠2．
在△AMD和△CND中，

∠1=∠2 ∠AMD=∠CND DM=DN

，
∴△ADM≌△CDN（AAS），
∴AD=CD；

（2）解：∵AD=CD，且∠ADC=45°，
∴∠ACD=∠DAC=67.5°，
∴∠1=22.5°．
∵∠AEC=∠1+∠ADC，
∴∠AEC=22.5°+45°=67.5°，
∴∠ACE=∠AEC，
∴AC=AE．
∵AC=4，
∴AE=4．
．答：AE=4．

點評：本題考查了角平分線的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，等腰直角三角形的性質的運用及等腰三角形的性質的運用．解答時得出△ADM≌△CDN是關鍵．