Question

【題目】如圖，是上的兩個定點，為優弧上的動點，過點作交射線于點，過點作，點在上，且．

（1）求證：與相切；

（2）已知：

①若，求的長；

②當兩點間的距離最短時，判斷四點所組成的四邊形的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①；②四邊形是平行四邊形，理由詳見解析

【解析】

（1）如圖1，作直徑BG，連接GE，證∠EBD=∠G，則∠EBD+∠GBE=90°，即可推出結論；
（2）①如圖2，連接AG，證△BCD∽△BAG，推出，在Rt△BGE中，求出BG的長，可進一步求出BD的長；
②由①推出，因為B，E為定點，BE為定值，所以BD為定值，D為定點，因為∠BCD=90°，所以點C在以BD為直徑的⊙M上運動，當點C在線段OM上時，OC最小，證，∠OMB=60°，依次推出AB∥CD，AC∥BD即可．

（1）如圖1，作直徑BG，連接GE，

則∠GEB=90°，
∴∠G+∠GBE=90°，
∵∠A=∠EBD，∠A=∠G，
∴∠EBD=∠G，
∴∠EBD+∠GBE=90°，
∴∠GBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD與⊙O相切；

（2）①如圖2，連接AG，

∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
由（1）知∠GBD=90°，
∴∠GBD=∠ABC，
∴∠GBA=∠CBD，
又∵∠GAB=∠DCB=90°，
∴△BCD∽△BAG，

∴

又中，，

∴

∴

②四邊形是平行四邊形．理由如下：

由①知，

∴

∵為定點，為定值

∴為定值，為定點

∴點在為直徑的上運動，

∴當點在線段上時，最小

此時在中，

∴

∴

∴

，

∴

∴

∴

∴

∴

∴四邊形為平行四邊形．