Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，點F在DE的延長線上，且AF＝CE＝AE．

（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）當∠B＝30°時，試猜想四邊形ACEF是什么圖形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形ACEF為菱形，見解析．

【解析】

（1）易知DE是△ABC的中位線，則FE∥AC，BE＝EA＝CE＝AF；因此△AFE、△AEC都是等腰三角形，可得∠F＝∠5＝∠1＝∠2，即∠FAE＝∠AEC，由此可證得AF∥EC，即可得出結論；

（2）證出AC＝CE，即可得出結論．

（1）證明：∵DE垂直平分BC，

∴D為BC的中點，ED⊥BC，

又∵AC⊥BC，

∴ED∥AC，

∴E為AB中點，

∴ED是△ABC的中位線．

∴BE＝AE，FD∥AC．

∴CE是是△ABC斜邊上的中線

∴CE＝AB，

∵CE＝AE＝AF．

∴∠F＝∠5＝∠1＝∠2．

∴∠FAE＝∠AEC．

∴AF∥EC．

又∵AF＝EC，

∴四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）解：當∠B＝30°時，四邊形ACEF為菱形；

理由：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴AC＝AB，

由（1）知CE＝AB，

∴AC＝CE

又∵四邊形ACEF為平行四邊形

∴四邊形ACEF為菱形．