Question

已知a，b，c是△ABC的三邊，x²-2（a+b）x+c²+ab=0是關于x的一元二次方程，
（1）若△ABC是直角三角形，且∠C=90°，試判斷方程實根的個數；
（2）若方程有兩個相等的實數根，試求∠C的度數．

Answer 1

解：（1）∵a，b，c是△ABC的三邊，x²-2（a+b）x+c²+ab=0是關于x的一元二次方程，
∴△=4a²+4b²+4ab-4c²，
∵△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∴a²+b²=c²，
∴△=4ab＞0，
故方程有兩個不等實數根；

（2）∵方程有兩個相等的實數根，
∴△=4a²+4b²+4ab-4c²=0，
cosC==-
∴∠C=120°．
分析：（1）首先寫出方程根的判別式，然后由a²+b²=c²確定判別式的符號，即可確定方程根的個數，
（2）由方程有兩個相等的實數根則△=0，解得a、b、c的關系，求出cosC．
點評：本題主要考查根的判別式△=b²-4ac的情況，當△=b²-4ac＞0方程有兩個不相等的實數根，當△=b²-4ac=0，方程有兩個相等的實數根，當△=b²-4ac＜0，方程沒有實數根．