Question

（2012•濟寧）有四張形狀、大小和質地相同的卡片A、B、C、D，正面分別寫有一個正多邊形（所有正多邊形的邊長相等），把四張卡片洗勻后正面朝下放在桌面上，從中隨機抽取一張（不放回），接著再隨機抽取一張．

（1）請你用畫樹形圖或列表的方法列舉出可能出現的所有結果；
（2）如果在（1）中各種結果被選中的可能性相同，求兩次抽取的正多邊形能構成平面鑲嵌的概率；
（3）若兩種正多邊形構成平面鑲嵌，p、q表示這兩種正多邊形的個數，x、y表示對應正多邊形的每個內角的度數，則有方程px+qy=360，求每種平面鑲嵌中p、q的值．

Answer 1

分析：（1）列出圖表即可得到所有的可能情況；
（2）根據平面鑲嵌的定義，能構成平面鑲嵌的多邊形有正三角形與正方形，正三角形與正六邊形，然后根據概率公式列式計算即可得解；
（3）對兩種平面鑲嵌的情況，根據方程代入數據整理，再根據p、q都是整數解答．

解答：解：（1）所有出現的結果共有如下12種：…3分

第一次/第二次	A	B	C	D
A		BA	CA	DA
B	AB		CB	DB
C	AC	BC		DC
D	AD	BD	CD

（2）因為，12種結果中能構成平面鑲嵌的有四種AB、AD、BA、DA，
所以P（兩次抽取的正多邊形能構成平面鑲嵌）=

4

12

=

1

3

；…6分

（3）當正三角形和正方形構成平面鑲嵌時，
則有60p+90q=360，即2p+3q=12．
因為p、q是正整數，
所以p=3，q=2，…7分
當正三角形和正六邊形構成平面鑲嵌時，
則有60p+120q=360，即p+2q=6．
因為p、q是正整數，
所以p=4，q=1或p=2，q=2．

點評：本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，以及平面鑲嵌的知識，概率=所求情況數與總情況數之比，平面鑲嵌的條件：各個頂點處內角和恰好為360°．