Question

【題目】如圖，P為⊙O直徑AB延長線上的一點，PC切⊙O于點C，過點B作CP的垂線BH交⊙O于點D，連結AC，CD．

（1）求證：∠PBH＝2∠HDC；

（2）若sin∠P＝，BH＝3，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）18

【解析】

（1）連接OC，因為PC切⊙O于點C，則OC⊥PC，因為過點B作CP的垂線BH交⊙O于點D，可得DH∥OC，進而得出∠PBH＝∠BOC＝2∠HDC；

（2）作OM⊥DH于H，設⊙O的半徑為r，可得四邊形OMHC為矩形，因為sin∠P＝，BH＝3，所以BP＝4，由△PHB∽△PCO，得，求得r＝12，可得出MH的長，從而求出BD的長．

解：（1）如圖，連接OC，

∵PC切⊙O于點C，

∴OC⊥PC，

∵過點B作CP的垂線BH交⊙O于點D，

∴DH∥OC，

∴∠PBH＝∠BOC，

∵∠BOC＝2∠HDC，

∴∠PBH＝2∠HDC；

（2）如圖，作OM⊥DH于H，設⊙O的半徑為r，

∵∠OCH＝∠OMH＝∠CHM＝90°，

∴四邊形OMHC為矩形，

∵sin∠P＝，BH＝3，

∴，

∴BP＝4，

∵OC∥DH，

∴△PHB∽△PCO，

∴，

∴，解得r＝12，

∴MH＝OC＝12，

∴MB＝MH﹣BH＝12﹣3＝9，

∴BD＝2MB＝18．