Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AB上一點，以AD為直徑作⊙O交AC于E，與BC相切于點F，連接AF．

（1）求證：∠BAF=∠CAF；

（2）若AC=6，BC=8，求BD和CE的長；

（3）在（2）的條件下，若AF與DE交于H，求FHFA的值．（直接寫出結果即可）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連結OF，如圖，根據切線的性質得OF⊥BC，則易得OF∥AC，所以∠OFA=∠CAF，加上∠OAF=∠OFA，則∠BAF=∠CAF；
（2）設⊙O的半徑為r，OF與DE交于點P，如圖，在Rt△ABC中根據勾股定理計算出AB=10，再證明△BOF∽△BAC，利用相似比計算出r=，則BD=BA-AD=；接著根據圓周角定理由AD為⊙O的直徑得到∠AED=90°，易得DE∥BC，根據平行線分線段成比例定理可計算出CE=；
（3）根據平行線分線段成比例定理，由OF∥AC，，則可計算出CF=3，再在Rt△ACF中，利用勾股定理計算出AF=3，然后利用HE∥CF得到，可計算出FH=，最后計算FHFA的值．

解答：（1）證明：連結OF，如圖，
∵⊙O與BC相切于點F，
∴OF⊥BC，
∵∠ACB=90°，
∴OF∥AC，
∴∠OFA=∠CAF，
而OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∴∠BAF=∠CAF；

（2）解：設⊙O的半徑為r，OF與DE交于點P，如圖，
在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，
∴AB==10，
∵OF∥AC，
∴△BOF∽△BAC，
∴=，即

=，解得r=，
∴BD=BA-AD=10-2×=，
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠AED=90°，
而∠C=90°，
∴DE∥BC，
∴=，即

=，
∴CE=；
（3）解：∵OF∥AC，
∴=，即=，解得CF=3，
在Rt△ACF中，AF==3，
∵HE∥CF，
∴=，即=，
∴FH=，
∴FHFA=3=．