Question

【題目】如圖，在⊙O中，弦AB=弦CD，AB⊥CD于點E，且AE＜EB，CE＜ED，連結AO，DO，BD．

（1）求證：EB=ED．

（2）若AO=6，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）的長為

【解析】（1）由AB=CD，根據圓心角、弧、弦的關系定理得出=．即+=+，那么=，根據圓周角定理得到∠CDB=∠ABD，利用等角對等邊得出

EB=ED；

（2）先求出∠CDB=∠ABD=45°，再根據圓周角定理得出∠AOB=90°．又AO=6，代入弧長公式計算即可求解．

（1）證明：∵AB=CD，∴=．即+=+．

∴=．∵、所對的圓周角分別為∠CDB，∠ABD，

∴∠CDB=∠ABD．∴EB=ED．

（2）解：∵AB⊥CD，∴∠CDB=∠ABD=45°．

∵AO=6，∴的長．

“點睛”本題考查了弧長的計算，圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，等腰三角形判定，證明出∠CDB=∠ABD是解題的關鍵．