Question

（2007•福州質檢）如圖，AB是圓O的直徑，AD是圓O的切線，C是圓O上的一點，且CD∥AB．
（1）求證：△ABC∽△CAD；
（2）若CD=

3

，sin∠CAD=

1

3

，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）由圓周角定理、已知條件求得∠ACB=∠ADC=90°，由平行線的性質推知∠DCA=∠CAB，則證得結論；
（2）通過解直角△ADC求得AC=3

3

．然后再由（1）中相似三角形的對應角相等知sin∠CAD=sin∠ABC=

AC

AB

，則易求AB=9

3

．

解答：（1）證明：如圖，∵AD是圓O的切線，
∴AD⊥AB．
又∵CD∥AB，
∴CD⊥AD，∠CAB=∠DCA．
∵AB是圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠CDA=90°，
∴△ABC∽△CAD；

（2）解：如圖，∴在直角△ACD中，CD=

3

，sin∠CAD=

1

3

，
∴

CD

AC

=

1

3

，即AC=3CD=3

3

．
由（1）知，△ABC∽△CAD，
∴∠ABC=∠CAD，
∴sin∠ABC=sin∠CAD=

AC

AB

=

1

3

，
∴AB=3AC=9

3

．即AB的長是9

3

．

點評：本題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質以及解直角三角形．解答（2）題時，也可以根據相似三角形的對應邊成比例來求線段AB的長度．