Question

【題目】如圖，在中，，，是的平分錢，垂足是，和的延長線交于點．

（）請找出與相等的所有的角，并證明其中一個．

（）求證：．

Answer 1

【答案】（），理由見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）與∠F相等的所有角為∠ADB、∠EDC、∠BCF，選擇證明∠F=∠BCF，由已知條件不難證明△FBE≌△CBE，即可證明∠F=∠BCF；（2）先計算出∠ABC和∠ACB的度數，繼而求出∠ABD的度數，再由等腰三角形中，已知頂角∠ABC的度數，求出底角∠FCB的度數，接著求出∠ACF的度數，得出∠ABD=∠FCA，再由AB=AC以及∠BAD=∠FAC可得△BAD≌△CAF，所以BD=CF，又因為CE=EF，得證.

試題解析：

（）∠F=∠ADB=∠EDC=∠BCF，

證明∠F=∠BCF，

∵BD平分∠ABC，

∴∠FBE=∠CBE，

∵CE⊥BD于點E，

∴∠FEB=∠CEB=90°,

再△FBE和△CBE中，

，

∴△FBE≌△CBE（ASA），

∴∠F=∠BCF；

（）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABD=∠ABC=22.5°，

由（1）可知，∠F=∠FCB=×（180°－∠ABC）=67.5°，

∴∠FCA=∠FCB－∠ACB=67.5°－45°=22.5°，

∴∠ABD=∠FCA，

在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（ASA）,

∴BD=CF，

∵CE=EF,

∴BD=2EC.