Question

如圖，在等邊△ABC中，AB=3，D、E分別是AB、AC上的點，且DE∥BC，將△ADE沿DE翻折，與梯形BCED重疊的部分記作圖形L．

（1）求△ABC的面積；
（2）設AD=x，圖形L的面積為y，求y關于x的函數解析式；
（3）已知圖形L的頂點均在⊙O上，當圖形L的面積最大時，求⊙O的面積．

Answer 1

解：（1）如圖1，作AH⊥BC于H，則∠AHB=90°。

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=3。
∵∠AHB=90°，∴BH=BC=。
在Rt△ABH中，由勾股定理，得AH=。
∴。
（2）如圖2，當0＜x≤時，。

作AG⊥DE于G，∴∠AGD=90°，∠DAG=30°。
∴DG=x，AG=。
∴。
如圖3，當＜x＜3時，作MG⊥DE于G，

∵AD=x，∴BD=DM=3－x，
∴DG=，MF=MN=2x－3，MG=
∴。
綜上所述，y關于x的函數解析式為。
（3）當0＜x≤時，
∵a=＞0，開口向上，在對稱軸的右側y隨x的增大而增大，
∴x=時，。
當＜x＜3時，，
∵a=＜0，開口向下，∴x=2時，
∵＞，∴y最大時，x=2。
∴DE=2，BD=DM=1。
如圖4，作FO⊥DE于O，連接MO，ME，

∴DO=OE=1。∴DM=DO。
∵∠MDO=60°，∴△MDO是等邊三角形。
∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1。
∴MO=OE，∠MOE=120°。
∴∠OME=30°。∴∠DME=90°。
∴DE是直徑。
∴。

解析