Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸、y軸上，線段OA、OB的長（0A＜OB）是方程組

2x=y 3x-y=6

的解，點C是直線y=2x與直線AB的交點，點D在線段OC上，OD=2

5

．
（1）求直線AB的解析式及點C的坐標；
（2）求直線AD的解析式；
（3）P是直線AD上的點，在平面內是否存在點Q，使以0、A、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解方程組方程組

2x=y 3x-y=6

，
解得：

x=6 y=12

∵線段OA、OB的長（0A＜OB）是方程組

2x=y 3x-y=6

的解，
∴OA=6，OB=12，
∴A（6，O），B（0，12），
設直線AB的解析為y=kx+b，
∴

0=6k+b 12=b

∴直線AB：y=-2x+12，
聯立

y=-2x+12 y=2x

，
解得：

x=3 y=6

，
點C的坐標為（3，6）；

（2）設點D：（a，2a），
由OD=2

5

：a²+（2a）²=（2

5

）²，
得：a=±2，
∵由圖得，a＞0，
∴a=2．
∴D（2，4），
設直線AD的解析式為y=kx+b
把A（6，0），D（2，4）代入得

6k+b=0 2k+b=4

，
解得

k=-1 b=6

，
∴直線AD的解析式為y=-x+6；

（3）存在．
Q₁（-3

2

，3

2

）
Q₂（3

2

，-3

2

）
Q₃（3，-3）
Q₄（6，6）