Question

【題目】某公司對一種新型產品的產銷情況進行了營銷調查，發現年產量為x(噸)時，所需的成本y(萬元)與(x2＋60x＋800)成正比例，投入市場后當年能全部售出且發現每噸的售價p(單位：萬元)由基礎價與浮動價兩部分組成，其中基礎價是固定不變的，浮動價與x成正比例，比例系數為－.在營銷中發現年產量為20噸時，所需的成本是240萬元，并且年銷售利潤W(萬元)的最大值為55萬元．(注：年利潤＝年銷售額－成本)

(1)求y(萬元)與x(噸)之間滿足的函數解析式；

(2)求年銷售利潤W與年產量x(噸)之間滿足的函數解析式；

(3)當年銷售利潤最大時，每噸的售價是多少萬元？

Answer 1

【答案】（1）y＝x2＋6x＋80（2）W＝－(x－30)2＋55（3）當年銷售利潤最大時，每噸的售價是13.5萬元

【解析】

（1）設y=k(x2+60x+800)，由待定系數法建立方程求出k值即可；

（2）設基礎價為a，則p=a-x，根據年利潤=年銷售額-全部費用就可以表示出W與x的關系式；

（3）根據（2）的結論把a、x的值代入p=a-x，求出p即可．

解：（1）設y＝k(x2＋60x＋800)(k≠0)，

由題意，得240＝k(202＋60×20＋800)，

解得k＝，

∴y＝x2＋6x＋80；

（2）設基礎價為a，則p＝a－x，

∴W＝px－y＝(a－x)x－(x2＋6x＋80)＝－[x－×10(a－6)]2＋×5(a－6)2－80.

∵W的最大值為55，

∴×5(a－6)2－80＝55，

解得a1＝15，a2＝－3(舍去)，

∴W＝－[x－×10(15－6)]2＋×5×(15－6)2－80＝－(x－30)2＋55.

（3）∵W＝－(x－30)2＋55，

∴當x＝30時，年銷售利潤最大，

∴p＝a－x＝15－×30＝13.5，

∴當年銷售利潤最大時，每噸的售價是13.5萬元．