Question

【題目】在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求這個二次函數的關系解析式；
（2）點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P，使△ACP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）在平面直角坐標系中，是否存在點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由；
（4）點Q是直線AC上方的拋物線上一動點，過點Q作QE垂直于x軸，垂足為E．是否存在點Q，使以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由；
（5）點M為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點Q，使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由拋物線y=ax2+bx+2過點A（﹣3，0），B（1，0），則

解這個方程組，得a=﹣ ，b=﹣ ．

∴二次函數的關系解析式為y=﹣ x2﹣ x+2

（2）

解：設點P坐標為（m，n），則n=﹣ m2﹣ m+2．

連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N．

PM=﹣ m2﹣ m+2，PN=﹣m，AO=3．

當x=0時，y=﹣ ×0﹣ ×0+2=2，所以OC=2

S△PAC=S△PAO+S△PCO﹣S△ACO

= AOPM+ COPN﹣ AOCO

= ×3（﹣ m2﹣ m+2）+ ×2（﹣m）﹣ ×3×2

=﹣m2﹣3m

∵a=﹣1＜0

∴函數S△PAC=﹣m2﹣3m有最大值

當m=﹣ =﹣ 時，S△PAC有最大值．

此時n=﹣ m2﹣ m+2=﹣ =

∴存在點P（﹣ ， ），使△PAC的面積最大

（3）

解：如圖（3）所示，

以BC為邊在兩側作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，則點Q1，Q2，Q3，Q4為符合題意要求的點．

過Q1點作Q1D⊥y軸于點D，

∵∠BCQ1=90°，

∴∠Q1CD+∠OCB=90°，

又∵在直角△OBC中，∠OCB+∠CBO=90°，

∴∠Q1CD=∠OCB，

又∵Q1C=BC，∠Q1DC=∠BOC，

∴△Q1CD≌△CBO，

∴Q1D=OC=2，CD=OB=1，∴OD=OC+CD=3，∴Q1（2，3）；

同理求得Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．

∴存在點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形．Q點坐標為：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）

（4）

解：如圖（4）所示，

設E（n，0），則BE=1﹣n，QE=﹣ n2﹣ n+2．

假設以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似，則有兩種情況：

①若△AOC∽△BEQ，則有： ，

即 ，化簡得：n2+n﹣2=0，

解得n1=﹣2，n2=1（與B重合，舍去），∴n=﹣2，QE=﹣ n2﹣ n+2=2．

∴Q（﹣2，2）；

②若△AOC∽△BQE，則有： ，

即 ，化簡得：4n2﹣n﹣3=0，

解得n1=﹣ ，n2=1（與B重合，舍去），∴n=﹣ ，QE=﹣ n2﹣ n+2= ．

∴Q（﹣ ， ）．

綜上所述，存在點Q，使以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似．

Q點坐標為（﹣2，2）或（﹣ ， ）

（5）

解：假設存在點Q，使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形．①若CM平行于x軸，如圖（5）a所示，

有符合要求的兩個點Q1，Q2，此時Q1A=Q2A=CM．

∵CM∥x軸，∴點M、點C（0，2）關于對稱軸x=﹣1對稱，

∴M（﹣2，2），∴CM=2．

由Q1A=Q2A=CM=2，得到Q1（﹣5，0），Q2（﹣1，0）；

②若CM不平行于x軸，如圖（5）b所示．

過點M作MG⊥x軸于G，

易證△MGQ≌△COA，得QG=OA=3，MG=OC=2，即yM=﹣2．

設M（x，﹣2），則有﹣ x2﹣ x+2=﹣2，解得x=﹣1± ．

又QG=3，∴xQ=xG+3=2± ，

∴Q3（2+ ，0），Q4（2﹣ ，0）．

綜上所述，存在點Q，使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形．Q點坐標為：Q1（﹣5，0），Q2（﹣1，0），Q3（2+ ，0），Q4（2﹣ ，0）．

【解析】（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）關鍵是求出△ACP面積的表達式，然后利用二次函數求極值的方法，求出△ACP面積的最大值；（3）如圖（3）所示，以BC為邊，在線段BC兩側分別作正方形，正方形的其他四個頂點均可以使得“△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形”，因此有四個點符合題意要求；（4）如圖（4）所示，若以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似，有兩種情況，需要分類討論，不要漏解；（5）以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，有四種情況，分別如圖（5）a、圖（5）b所示，注意不要漏解．