Question

【題目】知識鏈接：將兩個含角的全等三角尺放在一起， 讓兩個角合在一起成，經過拼湊、觀察、思考，探究出結論“直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半”．如圖，等邊三角形的邊長為，點從點出發沿向運動，點從出發沿的延長線向右運動，已知點都以每秒的速度同時開始運動，運動過程中與相交于點，設運動時間為秒．

請直接寫出長． (用的代數式表示)

當為直角三角形時，運動時間為幾秒? ．

求證：在運動過程中，點始終為線段的中點．

Answer 1

【答案】（1）AD=4-0.5x；（2）秒；（3）見解析

【解析】

（1）根據題意得到CD=0.5x，結合圖形求出AD；
（2）設x秒時，△ADE為直角三角形，則BE=0.5x，AD=4-0.5x，AE=4+0.5x，根據30°的直角邊等于斜邊的一般建立方程求出其解即可；
（3）作DG∥AB交BC于點G，證明△DGP≌△EBP，得出PD=PE即可．

解：（1）由題意得，CD=0.5x，
則AD=4-0.5x；
（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=4cm，∠A=∠ABC=∠C=60°．
設x秒時，△ADE為直角三角形，
∴∠ADE=90°，BE=0.5x，AD=4-0.5x，AE=4+0.5x，
∴∠AED=30°，
∴AE=2AD，
∴4+0.5x=2（4-0.5x），
∴x=；
答：運動秒后，△ADE為直角三角形；
（3）如圖2，作DG∥AB交BC于點G，

∴∠GDP=∠BEP，∠DGP=∠EBP，∠CDG=∠A=60°，∠CGD=∠ABC=60°，
∴∠C=∠CDG=∠CGD，
∴△CDG是等邊三角形，
∴DG=DC，
∵DC=BE，
∴DG=BE．
在△DGP和△EBP中，

，
∴△DGP≌△EBP（ASA），
∴DP=PE，
∴在運動過程中，點P始終為線段DE的中點．