Question

如圖，已知直線，點A的坐標是（4，0），點D為x軸上位于點A右邊的某一點，點B為直線上的一點，以點A、B、D為頂點作正方形．

（1）若圖①僅看作符合條件的一種情況，求出所有符合條件的點D的坐標；
（2）在圖①中，若點P以每秒1個單位長度的速度沿直線從點O移動到點B，與此同時點Q以相同的速度從點A出發沿著折線A－B－C移動，當點P到達點B時兩點停止運動．試探究：在移動過程中，△PAQ的面積最大值是多少？

Answer 1

（1）（7，0）或（16，0）或（28，0）；（2）或3；

試題分析：（1）仔細分析題意，正確畫出圖形，根據正方形的性質求解即可； 
（2）分①當0＜t≤3時，②當3＜t≤5時，根據三角形的面積公式及二次函數的性質求解.
（1）（7，0）或（16，0）或（28，0）
提示：除已給圖外還有兩種情況，如下圖.
 
（2）①當0＜t≤3時，過點P作PE⊥x軸，垂足為點E．
AQ=OP=t，OE=t，AE=4－t.   
S_△APQ=AQ·AE=t（4－t）=（t－）²+ 
當t=時，S_△APQ的最大值為；
②當3＜t≤5時，過點P作PE⊥x軸，垂足為點E，過點Q作QF⊥x軸，垂足為點F

OP=t，PE=t，OE=t，AE=4－t. 
QF=3，AF=BQ=t－3，EF=AE+AF=1+t  
S_△APQ="S" _梯形PEFQ－S_△PEA－S_△QFA=（PE+QF）·EF－PE·AE－QF·AF
=（t +3）·（1+t）－·t·（4－t）－×3·（t－3）=（t－）²+
∵拋物線開口向上，
∴當t=5時，S_△APQ的最大值為3＞
∴在移動過程中，△PAQ的面積最大值是3.
點評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現，需特別注意.