Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且AE=EF=FA．下列結論：①△ABE≌△ADF；②CE=CF；③∠AEB=75°；④BE+DF=EF；⑤S△ABE+S△ADF=S△CEF ， 其中正確的是①②③⑤（只填寫序號）．

Answer 1

【答案】①②③⑤
【解析】解：∵AB=AD，AE=AF=EF， ∴△ABE≌△ADF（HL），△AEF為等邊三角形，
∴BE=DF，又BC=CD，
∴CE=CF，
∴∠BAE= （∠BAD﹣∠EAF）= （90°﹣60°）=15°，
∴∠AEB=90°﹣∠BAE=75°，
∴①②③正確，
在AD上取一點G，連接FG，使AG=GF，
則∠DAF=∠GFA=15°，
∴∠DGF=2∠DAF=30°，
設DF=1，則AG=GF=2，DG= ，
∴AD=CD=2+ ，CF=CE=CD﹣DF=1+ ，
∴EF= CF= + ，而BE+DF=2，
∴④錯誤，
⑤∵S△ABE+S△ADF=2× AD×DF=2+ ，
S△CEF= CE×CF= =2+ ，
∴⑤正確．
所以答案是：①②③⑤．

【考點精析】本題主要考查了正方形的性質的相關知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．