Question

（2007•河北）一手機經銷商計劃購進某品牌的A型、B型、C型三款手機共60部，每款手機至少要購進8部，且恰好用完購機款61000元．設購進A型手機x部，B型手機y部．三款手機的進價和預售價如下表：

手機型號	A型	B型	C型
進  價（單位：元/部）	900	1200	1100
預售價（單位：元/部）	1200	1600	1300

（1）用含x，y的式子表示購進C型手機的部數；
（2）求出y與x之間的函數關系式；
（3）假設所購進手機全部售出，綜合考慮各種因素，該手機經銷商在購銷這批手機過程中需另外支出各種費用共1500元．
①求出預估利潤P（元）與x（部）的函數關系式；（注：預估利潤P=預售總額-購機款-各種費用）
②求出預估利潤的最大值，并寫出此時購進三款手機各多少部．

Answer 1

【答案】分析：（1）關鍵描述語：A型、B型、C型三款手機共60部，由A、B型手機的部數可表示出C型手機的部數．
（2）根據購機款列出等式可表示出x、y之間的關系．
（3）①由預估利潤P=預售總額-購機款-各種費用，列出等式即可．
②根據題意列出不等式組，求出購買方案的種數，預估利潤最大值即為合理的方案．
解答：解：（1）60-x-y；

（2）由題意，得900x+1200y+1100（60-x-y）=61000，
整理得y=2x-50．

（3）①由題意，得P=1200x+1600y+1300（60-x-y）-61000-1500，
P=1200x+1600y+78000-1300x-1300y-61000-1500，
P=-100x+300y+15500，
P=-100x+300（2x-50）+15500，
整理得P=500x+500．
②購進C型手機部數為：60-x-y=110-3x．根據題意列不等式組，得，解得29≤x≤34．
∴x范圍為29≤x≤34，且x為整數．
∵P是x的一次函數，k=500＞0，
∴P隨x的增大而增大．
∴當x取最大值34時，P有最大值，最大值為17500元．
此時購進A型手機34部，B型手機18部，C型手機8部．
點評：此題結合圖表，以手機銷售為載體，考查了根據實際問題列函數解析式的問題．
（1）、（2）兩題較簡單，容易列出表達式和一次函數解析式，主旨是為（3）提供思路；
（3）根據前兩題的關系式及“每款手機至少要購進8部”的條件，列出不等式組，求出x的取值范圍，
然后根據一次函數的增減性求出利潤最大值．