Question

已知：如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點D、E分別在AB、AC上，且AD=AE=2．若點F從點B開始以每秒1個單位長度的速度沿射線BC方向移動，當點F運動x（x＞0）秒時，射線FD與過點A且平行于BC的直線交于點G，連接GE交AD于點O，并延長交BC延長線于點H．
（1）求△EGA的面積S與點F運動時間x的函數關系；
（2）當時間x為多少秒時，GH⊥AB；
（3）證明△GFH的面積為定值．

Answer 1

分析：（1）在三角形EGA中，底邊AG的長可通過相似三角形ADG和BDF利用相似三角形的對應邊成比例求出，而AG邊上的高可用AE•sin60°來表示，然后利用三角形的面積公式即可得出S、t的函數關系式；
（2）當AB⊥GE時，連接DE，由已知推出三角形ADE是等邊三角形，可得∠AEG=60°，即∠AEG=∠DEO=30°，然后根據AG與DE的平行得出內錯角的相等求出∠AGE=30°，進而根據等角對等邊可得出AG=AE=2，在（1）中已經求出了AG的表達式），根據得出的等量關系即可求出t的值；
（3）由GA∥BC，DE∥BC，分別得出比例，經過轉化可得出FH=BC，又由圖觀察可知△ABC與△GFH的高相等，所以
△ABC與△GFH的面積相等，求出等邊三角形ABC的面積即為三角形GFH的面積，所以△GFH的面積為定值．

解答：解：（1）如圖，∵GA∥BC
∴

AG

BF

=

AD

DB

又∵AB=6，AD=2
∴DB=4
∵BF=t
∴

AG

t

=

2

4

∴AG=

1

2

t
過點E作EK⊥AG，垂足為K，
∵∠BCA=60°，
∴∠CAK=60°，
∴∠AEK=30°，
∵AE=2，
∴AK=1，根據勾股定理得：EK=

3

，
∴S=

1

2

AG•EK=

1

2

×

1

2

t×

3

=

3

4

t；

（2）如圖，連接DE，由AD=AE可知，△ADE為等邊三角形．
∵AB⊥HG，
根據等腰三角形的三線合一可知：AO=OD，∠AEO=∠DEO，
∵GA∥DE，
∴∠AGE=∠OED，
∴∠AGE=∠AEO，
∴AG=AE=2，
∴

1

2

t=2，
∴t=4，
即當t=4時，AB⊥HG；

（3）∵GA∥BC，
∴

GE

EH

=

AE

EC

，
∴

GE

GH

=

AE

AC

，
∵DE∥BC，
∴

DE

FH

=

GE

GH

，

DE

BC

=

AE

AC

，
∴FH=BC，
∵△ABC與△GFH的高相等，
∴S_△GFH=S_△ABC=

1

2

×6×3

3

=9

3

，
∴不論t為何值，△GFH的面積均為9

3

；

點評：本題主要考查了學生掌握相似三角形的性質與判斷，同時要求學生掌握等邊三角形的有關性質，會利用等邊三角形中特殊角來求值，本題要求學生必須掌握求定值的方法，鍛煉了學生的邏輯思維能力，提高了學生結合條件尋求結論解決數學問題的能力．