Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，點D在線段AB上，AD=2．點P，Q以相同的速度從D點同時出發，點P沿DB方向運動，點Q沿DA方向到點A后立刻以原速返回向點B運動．以PQ為直徑構造⊙O，過點P作⊙O的切線交折線AC﹣CB于點E，將線段EP繞點E順時針旋轉60°得到EF，過F作FG⊥EP于G，當P運動到點B時，Q也停止運動，設DP=m．

（1）當2＜m≤8時，AP=，AQ=．（用m的代數式表示）

（2）當線段FG長度達到最大時，求m的值；

（3）在點P，Q整個運動過程中，

①當m為何值時，⊙O與△ABC的一邊相切？

②直接寫出點F所經過的路徑長是．（結果保留根號）

Answer 1

【答案】（1）2+m，m﹣2;（2）m=5.5;（3）①當m=1或4或10﹣時，⊙O與△ABC的邊相切．②點F的運動路徑的長為+．

【解析】

試題（1）根據題意可得AP=2+m，AQ=m2.
（2）如圖1中在Rt△EFG中,

推出所以當點E與點C重合時，PE的值最大，求出此時EP的長即可解決問題．
（3）①當 (Q在往A運動)時，如圖2中，設切AC于H，連接OH.

當(Q從A向B運動)時,則PQ=(2+m)(m2)=4，如圖3中，設切AC于H.連接OH.如圖4中，設切BC于N，連接ON.

分別求解即可．
②如圖5中,點F的運動軌跡是F1→F2→B.分別求出即可解決問題．

試題解析：(1)當時，AP=2+m，AQ=m2.

故答案為2+m，m2.

(2)如圖1中，

在Rt△EFG中,

∴當點E與點C重合時，PE的值最大，

易知此時

∴m=5.5

(3)①當 (Q在往A運動)時，如圖2中，設切AC于H，連接OH.

則有AD=2DH=2，

∴DH=DQ=1，即m=1.

當(Q從A向B運動)時,則PQ=(2+m)(m2)=4，

如圖3中，設切AC于H.連接OH.

則AO=2OH=4，AP=4+2=6，

∴2+m=6，

∴m=4.

如圖4中，設切BC于N，連接ON.

在Rt△OBN中,

綜上所述,當m=1或4或時，O與△ABC的邊相切。

②如圖5中,點F的運動軌跡是F1→F2→B.

易知

為定值，

∴點F的第二段的軌跡是線段

在中,

∴點F的運動路徑的長為