Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，若∠BAC=∠CAM，過點C作直線l垂直于射線AM，垂足為點D．

（1）試判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若直線l與AB的延長線相交于點E，⊙O的半徑為3，并且∠CAB=30°，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）直線CD與⊙O相切（2）

【解析】解：（1）直線CD與⊙O相切。理由如下：

連接OC，

∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA。

∵∠BAC=∠CAM，∴∠OCA=∠CAM。

∴OC∥AM。

∵CD⊥AM ，∴OC⊥CD。

∵OC是⊙O的半徑，∴直線CD與⊙O相切。

（2）∵∠CAB=300，∴∠COE=2∠CAB=600。

∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC·tan600=。

（1）要證明過圓上已知點的直線是圓的切線時，只需連接圓心和這點，再證過已知點的半徑垂直于這條直線即可。因此，連接CO，根據∠OCA=∠CAM，證明DC∥AD，再根據CD⊥AM，得OC⊥CD，從而證明CD是⊙O的切線。

（2）由題意得∠COE=2∠CAB=600，則在Rt△COE中應用正切函數定義即可求解。.