Question

【題目】已知AB是半徑為1的圓O直徑，C是圓上一點，D是BC延長線上一點，過點D的直線交AC于E點，且△AEF為等邊三角形．

（1）求證：△DFB是等腰三角形；

（2）若DA=AF，求證：CF⊥AB．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由AB是⊙O直徑，得到∠ACB=90°，由于△AEF為等邊三角形，得到∠CAB=∠EFA=60°，根據三角形的外角的性質即可得到結論；

（2）過點A作AM⊥DF于點M，設AF=2a，根據等邊三角形的性質得到FM=EN=a，AM=a，在根據已知條件得到AB=AF+BF=8a，根據直角三角形的性質得到AE=EF=AF=CE=2a，推出∠ECF=∠EFC，根據三角形的內角和即可得到結論．

試題解析：（1）∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB=90°，∵△AEF為等邊三角形，∴∠CAB=∠EFA=60°，∴∠B=30°，∵∠EFA=∠B+∠FDB，∴∠B=∠FDB=30°，∴△DFB是等腰三角形；

（2）過點A作AM⊥DF于點M，設AF=2a，∵△AEF是等邊三角形，∴FM=EN=a，AM=a，在Rt△DAM中，AD=AF=a，AM=，∴DM=5a，∴DF=BF=6a，∴AB=AF+BF=8a，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，∵AE=EF=AF=CE=2a，∴∠ECF=∠EFC，∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，∴CF⊥AB．