Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣，經過A（﹣1，0），B（5，0）兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標；

（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣；（2）P（2，﹣）；（3）符合條件的點N的坐標為（4，﹣）、（2+，）或（2﹣，）．

【解析】

試題分析：（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入y=ax2+bx﹣，列出a和b的二元一次方程組，求出a和b的值即可；

（2）首先求出拋物線的對稱軸，連接BC，然后設設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），求出k和b的值，把x=2代入一次函數解析式，求出y的值即可；

（3）①當點N在x軸下方時，直接求出N點坐標；②當點N在x軸上方時，過點N作ND垂直x軸于點D，先求出N點的縱坐標為，進而求出點N的橫坐標，即可解答．

解：（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入y=ax2+bx﹣，

得到，

解得，

即拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣；

（2）∵拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣，

∴其對稱軸為直線x=﹣=﹣=2，

連接BC，如圖1所示，

∵B（5，0），C（0，﹣），

∴設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∴，

解得，

∴直線BC的解析式為y=x﹣，

當x=2時，y=1﹣=﹣，

∴P（2，﹣）；

（3）存在，

如圖2所示，

①當點N在x軸下方時，

∵拋物線的對稱軸為直線x=2，C（0，﹣），

∴N1（4，﹣）；

②當點N在x軸上方時，過點N作ND垂直x軸于點D，

在△AND與△MCO中，

∵，

∴△AND≌△MCO（ASA），

∴ND=OC=，即N點的縱坐標為，

∴x2﹣2x﹣=，

解得x=2±，

∴N2（2+，），N3（2﹣，），

綜上所述，符合條件的點N的坐標為（4，﹣）、（2+，）或（2﹣，）．