Question

【題目】已知如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D，點F為BC的中點，連接EF．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，∠EAC=60°，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，連接FO，

∵F為BC的中點，AO=CO，

∴OF∥AB，

∵AC是⊙O的直徑，

∴CE⊥AE，

∵OF∥AB，

∴OF⊥CE，

∴OF所在直線垂直平分CE，

∴FC=FE，OE=OC，

∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，

∵∠ACB=90°，

即：∠0CE+∠FCE=90°，

∴∠0EC+∠FEC=90°，

即：∠FEO=90°，

∴FE為⊙O的切線；

（2）解：如圖2，

∵⊙O的半徑為3，

∴AO=CO=EO=3，

∵∠EAC=60°，OA=OE，

∴∠EOA=60°，

∴∠COD=∠EOA=60°，

∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，

∴CD= ，

∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，

CD= ，AC=6，

∴AD= ．

【解析】（1）連接FO，由F為BC的中點，AO=CO，得到OF∥AB，由于AC是⊙O的直徑，得出CE⊥AE，根據OF∥AB，得出OF⊥CE，于是得到OF所在直線垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到結論（2）證出△AOE是等邊三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性質即可得到結果．