Question

【題目】如圖1，共直角邊AB的兩個直角三角形中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC交BD于P，且tan∠C＝．

（1）求證：AD＝AB；

（2）如圖2，BE⊥CD于E交AC于F．

①若F為AC的中點，求的值；

②當∠BDC＝75°時，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①，②

【解析】

（1）根據AD∥BC得＝，又tan∠C＝故，故AD＝AB．

（2）①在圖2中，過D作DH⊥BC于H，延長BE交AD延長線于G，易證ABHD為正方形，設其邊長為a，DG＝b，根據△ABC∽△DGC，得到a、b的關系即可解決問題．

②根據條件推出∠HDC＝30°，設CH＝m，則DC＝2CH＝2m，BH＝DH＝mｃ，從而表示出EC和DE，即可求出結論．

解：（1）∵∠DAB+∠ABC＝180°，

∴AD∥BC，

∴＝，

∵tan∠C＝＝

∴，

∴AD＝AB．

（2）①在圖2中，過D作DH⊥BC于H，延長BE交AD延長線于G，連接CG，易證ABHD為正方形，設其邊長為a，DG＝b，

∵AG∥BC，

∴，

∵AF＝FC，

∴AG＝BC，

∴四邊形ABCG是平行四邊形，

∵∠ABC＝90°

∴四邊形ABCG是矩形，

∴FB＝FC，∠BCG＝∠AGC＝90°，

∴∠FBC＝∠FCB，

∵∠FBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ECG＝90°，

∴∠ECG＝∠FBC，

∴∠DCG＝∠ACB，

∵∠ABC＝∠DGC＝90°

∴△ABC∽△DGC，

∴，

∴，

∴a2﹣ab﹣b2＝0，

∴a＝（或a＝舍棄），

∵DG∥BC，

∴＝＝＝＝，

②由1可知四邊形ABHD是正方形，

∴∠BDH＝45°，BH＝DH

∵∠BDC＝75°，

∴∠HDC＝30°，∠DCH=60°

設CH＝m，則DC＝2CH＝2m，BH＝DH＝m

∴EC＝BC·cos∠DCH＝（m+m），DE＝DC﹣CE＝2m﹣（m+m），

∴＝＝．