Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，連結AC，將△ACE沿AC翻轉得到△ACF，直線FC與直線AB相交于點G．

（1）求證：FG是⊙O的切線；

（2）若B為OG的中點，CE＝，求⊙O的半徑長；

（3）①求證：∠CAG＝∠BCG；

②若⊙O的面積為4π，GC＝2，求GB的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)2;(3) ①見解析； ②2.

【解析】

（1）連接OC，由OA=OC得∠OAC=∠OCA，根據折疊的性質得∠OAC=∠FAC，∠F=∠AEC=90°，則∠OCA=∠FAC，于是可判斷OC∥AF，根據平行線的性質得∠OCG=∠F=90°，然后根據切線的性質得直線FC與⊙O相切；
（2）首先證明△OBC是等邊三角形，在Rt△OCE中，根據OC2=OE2+CE2，構建方程即可解決問題；
（3）①根據等角的余角相等證明即可；
②利用圓的面積公式求出OB，由△GCB∽△GAC，可得，由此構建方程即可解決問題；

（1）證明：連結，則，

又，

即直線垂直于半徑，且過的外端點

是切線.

（2）點是斜邊的中點，，

是等邊三角形，且是的高。

在，，即，

解得，即的半徑為2.

（3）①，，且，

.

②，，由①知：∽，

，即，，

解得：.