Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，⊙O交x軸于A、B兩點，直線FA⊥x 軸于點A，點D在FA上，且DO平行⊙O的弦MB，連DM并延長交x軸于點C．

（1）判斷直線DC與⊙O的位置關系，并給出證明；

（2）設點D的坐標為（﹣2，4），試求MC的長及直線DC的解析式．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：根據全等三角形、相似三角形的判斷與性質以及一次函數的應用，利用全等三角形和相似三角形來得出線段相等或成比例解決本題．

（1）直線與圓的關系無非是相切，相交和相離，只要連接OM證明OM是否與DC垂直即可得出結論．

解題思路：通過證明三角形AOD和DOM全等來求解．已知的條件有OA=OM，一條公共邊OD，只要證明出兩組對應邊的夾角相等即可．可通過OD∥MB，OM=OB來證得．

（2）求MC的長就要求出DC的長，也就是要求出AC的長．已知了D的坐標，那么AD，OA，AB的長就都知道了．

不難得出三角形OMC和DAC相似，因此可得出OM，AD，CM，AC的比例關系．已知了AD，OM的長，就能求出MC，AC的比例關系了．

在直角三角形ADC中，AD的長已知，DC=DM+MC=DA+MC，那么可根據勾股定理和MC，AC的比例關系求出MC的長．也就求出了M的坐標．有了M和D的坐標可以用待定系數法求出DC所在直線的函數解析式．

解：（1）答：直線DC與⊙O相切于點M．

證明如下：連OM，∵DO∥MB，

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵OB=OM，

∴∠1=∠3．

∴∠2=∠4．

在△DAO與△DMO中， ．

∴△DAO≌△DMO．

∴∠OMD=∠OAD．

由于FA⊥x軸于點A，

∴∠OAD=90°．

∴∠OMD=90°．即OM⊥DC．

∴DC切⊙O于M．

（2）由D（-2，4）知OA=2（即⊙O的半徑），AD=4．

由（1）知DM=AD=4，由△OMC∽△DAC，知．

∴AC=2MC，

在Rt△ACD中，CD=MC+4．

由勾股定理，有（2MC）2+42=（MC+4）2，解得MC=或MC=0（不合題意，舍去）．

∴MC的長為．

∴點C（，0）．

設直線DC的解析式為y=kx+b．

則有．

解得．

∴直線DC的解析式為y=-x+．