Question

24、如圖（1），已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B、C在A、E的異側，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）求證：BD=AE．
（2）猜想：BD與DE、CE之間的關系，并證明你的猜想．
（3）若直線AE繞A點旋轉到圖（2）位置時（BD＜CE），其余條件不變，問BD與DE、CE的關系如何？直接寫出結果不需說明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形中，由題中條件可得∠ABD=EAC，又有AB=AC，則有一個角及斜邊相等，則可判定兩三角形全等；
（2）有三角形全等可得三角形對應邊相等，進而通過線段之間的轉化，可得出結論；
（3）由題中條件同樣可得出Rt△BAD≌Rt△AEC，得出對應線段相等，進而可得線段之間的關系．

解答：解：（1）證明∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ABD+∠BAD=90°∠BAD+∠EAC=90，
∴∠ABD=∠EAC（2分）
在Rt△BDA和Rt△AEC中，∠ABD=∠EAC，AB=AC
∴Rt△BAD≌Rt△AEC，
∴BD=AE（5分）
（2）∵Rt△BAD≌Rt△AEC
∴AD=CE，BD=AE（6分）
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE（10分）
（3）BD=DE-CE．
理由：∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ABD+∠BAD=90°∠BAD+∠EAC=90，
∴∠ABD=∠EAC，
在Rt△BDA和Rt△AEC中，∠ABD=∠EAC，AB=AC
∴Rt△BAD≌Rt△AEC，
∴BD=AE，AD=CE，
∴BD=AE=DE-AD=DE-CE．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質問題，能夠熟練運用其性質求解線段之間的關系．