Question

【題目】如圖，線段AB為⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AB＝4，BC＝2，點P是⊙O上一動點，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，連接OD，則OD長的最大值為 ( ）

A.B.C.D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

如圖，作△COE，使得∠CEO=90°，∠ECO=60°，則CO=2CE，OE=2，∠OCP=∠ECD，由△COP∽△CED，推出==2，即ED=OP=1（定長），由點E是定點，DE是定長，推出點D在半徑為1的⊙E上，由此即可解決問題．

解：如圖，作△COE，使得∠CEO=90°，∠ECO=60°，則CO=2CE，OE=2，

∠OCP=∠ECD，

∵∠CDP=90°，∠DCP=60°，
∴CP=2CD，
∴==2，
∴△COP∽△CED，
∴==2，
即ED=OP=1（定長），
∵點E是定點，DE是定長，
∴點D在半徑為1的⊙E上，
∵OD≤OE+DE=2+1，
∴OD的最大值為2+1，
故選C.