Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，點E，F分別在BC，AB上，點M在BA的延長線上，且CE=BF=AM，過點M，E分別作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，連接NF．
（1）求證：DE⊥DM；
（2）猜想并寫出四邊形CENF是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴DC=DA，∠DCE=∠DAM=90°，

在△DCE和△MDA中， ，

∴△DCE≌△MDA（SAS），

∴DE=DM，∠EDC=∠MDA．

又∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，

∴∠ADE+∠MDA=90°，

∴DE⊥DM

（2）解：四邊形CENF是平行四邊形，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，AB=CD．

∵BF=AM，

∴MF=AF+AM=AF+BF=AB，

即MF=CD，

又∵F在AB上，點M在BA的延長線上，

∴MF∥CD，

∴四邊形CFMD是平行四邊形，

∴DM=CF，DM∥CF，

∵NM⊥DM，NE⊥DE，DE⊥DM，

∴四邊形DENM都是矩形，

∴EN=DM，EN∥DM，

∴CF=EN，CF∥EN，

∴四邊形CENF為平行四邊形

【解析】（1）利用角邊角可得△DCE≌△MDA，那么可得DE=DM，∠EDC=∠MDA，進而根據∠ADC=90°可得DE⊥DM；（2）先證明四邊形CFMD是平行四邊形，得出DM=CF，DM∥CF，再證明四邊形DENM都是矩形，得出EN=DM，EN∥DM，得出CF=EN，CF∥EN，即可得出結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行四邊形的判定和正方形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．